日能研の中刷り広告に中学入試の問題が載っていて、興味を引かれました。要約するとこうです。
6桁の数字がある。それぞれの桁の数字は異なる。
これを abcdef と表す。
この数字に 3 を掛けると bcdefa となる。
この数字に7を掛けると6桁の数字になる。
この数字に2を掛けた数字を答えなさい。
本当に小学生が解く問題かと目を疑いました。
もちろん大人が解けば簡単です。以降を読む人は、ここで問題を解いてみて下さい。
この問題のおシャレなところ
abcedf は 142857 です。
この問題がシャレているところは、
- 「この数字に 3 を掛けると bcdefa となる」の部分で 3 を選んでいるところ
- abcedf が答えではなく、わざわざ 2 倍して答えさせるところ
- 「この数字に7を掛けると6桁の数字になる」という条件は、「5を掛けても」と書く方が厳密で分かりやすいのに、わざわざ 7 を掛けているところ
です。
3を掛けることから分かること
この問題をやると、九九の3の段は、下一桁に 1 〜 9 の数字が出てくることに気付きます。
数学的に言うと 3x (mod 10) は周期 10 で繰り返すのですね。
九九を書いてみると、7 と 9 も同様の性質を持つことが分かります。
乗法群の原始根のような感じが神秘的だったので、数学の師匠に聞いてみたら、10 と互いに素であれば、こうなると言われました。なるほど、10 と互いに素なのは、3、7、9 のみです。
どうしてそうなるのか、理由が分かっていないので、調べないといけません。。。
2倍して答えさせることから分かること
142857 を 2 倍すると、285714 となります。3 を掛けても、2 を掛けても循環することが分かります！調べてみると、4、5、6 でも循環します！
142857 × 2 ＝ 285714
142857 × 3 ＝ 428571
142857 × 4 ＝ 571428
142857 × 5 ＝ 714285
142857 × 6 ＝ 857142
和田先生はこの数字を見て、「1/7 だからだよ」とすぐに答えました。脱帽です。。。
実際、問題の答を見てみると、1/7 を元にしていると書かれています。
という訳で、問題でわざわざ 7 を掛けているのは、これが 1/7 を元にしているという出題者からのメッセージなのです。
なぜ循環するのか
1/7 は 0.14285714285714285 のように循環する小数です。
循環小数について調べたところ、分母に 2 と 5 以外の素因数を持つ場合は、循環小数となるそうです。
そしてもう一つの循環、2〜6を掛けると、どうして数字がシフトするのかという疑問も分かってしまえば簡単です。
1/7 を手で計算してみて下さい。
10 ÷ 7 = 1 … 3 (一段目)
30 ÷ 7 = 4 … 2 (二段目)
20 ÷ 7 = 2 … 6 (三段目)
60 ÷ 7 = 8 … 4 (四段目)
40 ÷ 7 = 5 … 5 (五段目)
50 ÷ 7 = 7 … 1 (六段目)10 ÷ 7 = 1 … 3 (以下繰り返し)
30 ÷ 7 = 4 … 2
7 で割るのですから、余りは必ず 6 以下になります。どこかで同じ余りが出てくれば、後は繰り返しになります。
2/7 は上記の計算の三段目から、3/7 は二段目から、4/7 は五段目から、、、計算しているのと同じですね。
